Contoh lengkap: Pemahaman Konsep, Penalaran, Koneksi, Pemecahan Masalah, dan Presentasi Matematika

Sabtu, 14 Juli 2018

­­­Contoh-contoh Pemahaman Matematika

A. Pemahaman Konsep

Agar lebih memahami penjelasan pemahaman konsep dalam pembelajaran matematika, dibawah ini akan di contoh soal pemahaman konsep berdasarkan indikatornya.

1.      Menyatakan ulang sebuah konsep

Contoh soalnya adalah siswa mampu mendefinisikan ulang perkalian dua.

2 x 1                                 = 2

2 x 2 = 2 + 2                     = 4

2 x 3 = 2 + 2 + 2               = 6

…….dst

Mendefinisikan perkalian disini maksudnya siswa setelah belajar perkalian ia mampu menyatakan ulang perkalian dua tersebut.

2.      Mengklasifikasi objek sesuai dengan konsepnya.

Maksudnya siswa mampu mengkelompokkan sifat-sifat tertentu suatu objek menurut jenisnya dan sifat-sifat.

Dalam menyelesaikan Sistem persamaan Linier dimana siswa dapat mengelompokkan  suatu objek dari soal sesuai dengan sifat-sifatnya, sehingga siswa dapat menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut menggunakan berbagai metode. Seperti metode grafik, eleminasi, substitusi dan gabungan antara eliminasi & substitusi.

Contoh :

Ibu membeli duah buah potong kain untuk pakaian yang berwarnah hijau dan kuning. Dari kedua potongan kain tersebut masing-masing berukuran 12 meter yang berwarna hijau dan 24 meter berwarna kuning. Tentukan :

a)      Banyak stel pakaian yang dibuat, jika untuk seorang laki-laki  saja membutuhkan 3 meter kain hijau dan 4 meter kain kuning.

b)      Banyak stel pakaian yang dapat dibuat, jika untuk seorang perempuan saja membutuhkan 4 meter kain hijau dan 6 meter kain kuning.

Untuk menyelesaikan soal seperti ini siswa harus mampu mengelompokkan menurut jenis dan sifat-sifatnya.

Penyelesaian :

Dik :

	Hijau (m)	Kuning (m)
Laki –laki  (x)	3	4
Perempuan (y)	4	6
Total kain	12	24

Disini telah terjadi pengelompokkan dan akhirnya siswa mampu membentuk model matematika : 3x + 4y = 12 dan 4x + 6y= 24.

Sehingga siswa dapat menyelesaikan system persamaan linier tersebut menggunakan salah satu metode yang disebutkan diatas.

3.      Kemampuan mengembangkan syarat perlu atau syarat cukup dari suatu konsepa

Maksudnya siswa mampu menganalisa suatu soal mana syarat perlu dan mana syarat cukup yang terkait dalam suatu konsep materi.

Contoh:

Siswa dapat memahami suatu materi dengan melihat syarat-syarat yang harus diperlukan/mutlak dan yang tidak diperlukan harus dihilangkan pada Persamaan kuadrat yang akar-akar Real, kembar dan imajenir hanya menggunakan Diskriminan tanpa harus mencari nilai akar-akar Persamaan kuadrat tersebut.

ax2 + bx + c = 0

Dengan Diskriminan (D)

D = b2 – 4ac,   Jika :

D > 0        :  akar-akar Persamaan Kuadratnya beda dan real.

D = 0        :  akar-akar Persamaan Kuadratnya kembar/sama

D < 0        : akar-akarnya imajenir

Biasanya siswa langsung mencari akar-akar persamaan kuadratnya menggunakan pemfaktoran melengkapkan kuadrat sempurna / menggunakan rumus.          

Contoh :

Tentukan jenis akar Persamaan Kuadrat  x² + x - 6 = 0

Jawab :

D = b² – 4ac

D = 1 – 4.1.(-6) = 1 + 25  = 26.

Karena D > 0, maka jenis akar real dan berbeda.

Pada saat tertentu biasanya siswa langsung menggunakan pemfaktoran/melengkapi kuadrat sempurna/rumus untuk menentukan jenis akar persamaan kuadrat.  Kemudian siswa baru menyimpulkan bahwa jenis akar persamaan kuadratnya.

   

4.      Memberikan contoh dan bukan contoh dari suatu konsep

Maksudnya siswa dapat  membedakan  mana contoh yang benar dari suatu materi dan contoh yang tidak benar dari suatu konsep materi yang telah dipelajari.

Pada pokok bahasan logika, siswa mampu membedakan suatu kalimat yang termasuk pernyataan dan bukan pernyataan

Contoh : 

a.              Semua mahkluk hidup memerlukan oksigen untuk bernapas.

b.              Ular digolongkan sebagai hewan mamalia.

Jawaban:

Kedua kalimat diatas sebagai pernyataan, karena suatu kalimat digolongkan suatu pernyataan jika kalimat tersebut bisa kita jawab benar atau salah. Jika benar maka pernyataan tersebut pernyataan yang benar, dan sebaliknya jika salah maka pernyataan tersebut pernyataan yang salah. Jadi kalimat a pernyataan yang bernilai benar dan kalimat b pernyataan yang bernilai salah.

5.      Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematis

Maksudnya siswa mampu merepresentasikan soal dalam berbagai bentuk representasi matematis, seperti dalam grafik, tabel, dan piktogram sehingga orang lain mampu memahami maksud dari soal tersebut.

Contoh

Dalam suatu kelurahan A diperoleh data pekerjaan warganya, antara lain Pedagang sebanyak 5 orang, wiraswasta sebanyak 10 orang, Pegawai Negeri Sipil sebanyak  42 orang dan Polri/TNI sebanyak 8 orang.

Dari data tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk diagram/grafik :

a.              Diagram batang

b.              Diagram Garis

c.              Diagram Lingkaran

d.              Tabel

e.              Piktogram

Data diatas direpresentasikan salah satunya dalam :

Bentuk Tabel :

Tabel Pekerjaan Penduduk di Kelurahan A

No	Pekerjaan	Frekuensi (orang)
1	Pedagang	5
2	Wiraswasta	10
3	PNS	42
4	TNI/Polri	8
Total Penduduk		65

B. Penalaran

Karakteristik soal matematika yang tergabung dalam kemampuan penalaran matematika adalah sebagai berikut:

1.            Soal yang meminta siswa untuk melakukan manipulasi matematika.

Memanipulasi adalah mengatur (mengerjakan) dengan cara yang pandai sehingga tercapai tujuan yang dikehendaki. Karakteristik soal ini memungkinkan siswa melakukan apapun yang menurut siswa perlu yang dapat membantunya mengingat kembali konsep yang telah dimengerti.

Contoh:

Siswa diberi PLSV: n + 5 > −4, maka siswa mampu memanipulasi variabel n untuk menunjukkan pernyataan yang benar dan pernyataan yang salah.

2.            Soal yang mengharuskan siswa menarik kesimpulan dari suatu pernyataan.

Karakteristik soal jenis ini adalah menekankan pada kejelian siswa dalam menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan.

Contoh:

Siswa diberi pernyataan: “Tepat dua tahun yang lalu umur Amir dua kali umur Dewi. Sekarang umur Amir 8 tahun. Orang tua Dewi mempunyai kebiasaan menimbang berat badan semua anak anaknya yang masih balita ke Posyandu. Apakah sekarang Dewi masih ditimbang berat badannya di Posyandu?” Siswa mampu menjawab pertanyaan dengan cara mencari umur Dewi sekarang dan membuat kesimpulan terkait dengan kebiasaan orang tua Dewi.

3.            Soal yang mengharuskan siswa memberikan alasan atau bukti terhadap satu atau beberapa solusi.

Karakteristik soal ini setidaknya dapat menggugah siswa untuk menyelesaikan permasalahan dengan model yang dikembangkan siswa sendiri.

Contoh :

Diketahui barisan 5, -2, -9, -16,...,

Tentukan Rumus suku ke-n, suku ke-25.

4.            Soal yang memungkinkan siswa untuk memeriksa kesahihan argumen.

Karakteristik dari soal ini biasanya dimulai dengan menyebutkan jawaban suatu masalah atau pernyataan yang sengaja dibuat salah. Tujuannya hanyalah memancing ketelitian siswa dalam mengecek kesahihan suatu argumen.

Contoh :

Siswa mampu menyelidiki benar-tidaknya argumen. Contoh argumen: ‘Besar suatu sudut lancip sama dengan selisih dari pelurusnya

dengan dua kali penyikunya.

C. Koneksi Matematika (Komunikasi)

1.      Dalam larutan NaOH, [OH-] ialah 2,9 x 10-4M. Hitunglah pH larutan ini.

Penyelesaian:

pOH    = - log [OH-]

= - log (2,9 x 10-4)

= 3,54

pH + pOH       = 14,00

= 14,00 – pOH

= 14,00 – 3,54

= 10,46.

2.     Ani menabung di Bank tanpa bunga sebesar Rp. 400.000, -. Untuk bulan - bulan     berikutnya ia menambah tabungannya sebesar Rp. 50.000,- / bulan. Tentukan Jumlah tabungan Ani setelah 2 tahun!

Penyelesaian:

𝑢𝑛        = a+(n-1)b

𝑢24      = a+23b

= 400.000 + 23(50.000)

= 400.000 + 1.150.000

= 1.550.000

Jadi jumlah tabungan setelah 2 tahun atau 24 bulan adalah 1.550.000

D. Pemecahan Masalah dalam Matematika

Soal-soal pemecahan masalah dengan mempertimbangkan beberapa karakteristik soal-soal pemecahan masalah berikut.

1.            Memiliki lebih dari satu cara penyelesaian.

Misalnya: Ahmad memiliki uang Rp 50.000,- Dia menggunakan uang tersebut untuk membayar tiket menonton pertandingan bola sebesar Rp 30.000,- dan membeli minuman ringan sebesar Rp 7.000,-. Berapa sisa uang yang dimilikinya sekarang?

2.            Memiliki lebih dari satu jawaban.

Misalnya : Selisih kuadrat dua buah bilangan bulat adalah 48. Tentukan bilangan-bilangan tersebut!

3.            Melibatkan logika, penalaran, dan uji coba.

Misalnya: Tiga orang anak menebak banyaknya permen yang terdapat dalam plastik. Mereka menebak 20, 23, dan 21. Anak pertama tebakannya keliru 1 angka, anak kedua keliru 3 angka, dan anak ketiga jawabannya tepat. Berapa banyak permen tersebut?

4.            Sesuai dengan situasi nyata dan minat siswa.

Misalnya:  Beberapa siswa berlatih futsal setiap hari Sabtu. Jika hari ini adalah Ahad 16 Oktober 2011, pada tanggal berapa mereka akan berlatih kembali.

E. Presentasi Matematika

1.  Masalah:

Hana sedang sakit flu berat dan setelah Hana pergi berobat ke Dokter, Hana diberi obat oleh dokter dua macam, yaitu antibiotic dan paracetamol, dengan aturan untuk antibiotik 3×1 sehari dan paracetamol 3×2 sehari. Berapa banyak obat yang diminum Hana dalam 3 hari?

Alternatif Penyelesaian:

Berdasarkan Masalah 3, diketahui bahwa untuk obat antibiotik banyak obat yang diminum Hana dalam sehari yakni pagi, siang, dan malam satu tablet, maka obat yang diminum Hana adalah: 3 × 1 berarti: 1 tablet diminum pagi hari, 1 tablet tablet diminum siang hari, dan 1 tablet diminum malam hari. Maka banyak obat antibiotik yang dimakan Hana dalam sehari adalah 3 tablet. Sehingga untuk 3 hari kedepan, Hana meminum obat antibiotic sebanyak: 3 × 3 = 9 tablet.

Untuk obat paracetamol banyak obat yang diminum Hana dalam sehari yakni pagi, siang, dan malam dua tablet, maka obat yang diminum Hana adalah 3 × 2 berarti: 2 tablet diminum pagi hari, 2 tablet tablet diminum siang hari, dan 2 tablet diminum malam hari. Maka Banyak obat paracetamol yang diminum Hana dalam sehari adalah 6 tablet. Sehingga untuk 3 hari ke depan, Hana meminum obat paracetamol sebanyak: 6×3 = 18 tablet.

Jadi, banyak obat yang diminum Hana selama tiga hari adalah 6 + 18 = 25 tablet.

2. Masalah:

Berdasarkan suatu survey oleh lembaga penelitian, diketahui bahwa populasi hewan A berkurang menjadi setengahnya setiap 10 tahun. Dapat diperkirakan pada tahun 2050 populasinya tinggal 1 juta ekor. Tentukan jumlah populasi hewan setiap 10 tahun sekali dari tahun 2000 sampai tahun 2050!

Alternatif Penyelesaian:

Diketahui:       Jumlah populasi hewan A  tahun 2050 adalah 1 juta

Jumlah populasi hewan A berkurang setegahnya setiap 10 tahun.

Ditanya:          Jumlah populasi hewan setiap 10 tahun dari tahun 2000 sampai tahun 2050..?

Penyelesaian :

Misalkan a  adalah jumlah populasi hewan pada tahun 2000. Maka dapat ditulis menjadi

Tahun 2000 jumlah populasi adalah a

Tahun 2010 jumlah populasi berkurang setengah dari populasi tahun 2000

Tahun 2020 jumlah populasi berkurang setegah dari populasi tahun 2010

Tahun 2030 jumlah populasi berkurang setengahnya dari populasi tahun 2020

Tahun 2040 jumlah populasi berkurang setegahnya dari populasi tahun 2030

Tahun 2050 jumlah populasi berkurang lagi setengahnya dari populasi tahun 2040

Berdasarkan data tersebut dapat ditentukan jumlah populasi hewan A setiap 10 tahun adalah :

Tahun	Pola Perkalian	Jumlah Populasi Hewan (Juta)
2000	2x2x2x2x2x1	32
2010	2x2x2x2x1	16
2020	2x2x2x1	8
2030	2x2x1	4
2040	2x1	2
2050	1	1

 Terimakasih telah membaca semoga bermanfaat, dan tolong tinggalkan komentar.........